Moving Average Prozess In R

8 4 Verschieben von durchschnittlichen Modellen. Als vergangene Werte der Prognosevariablen in einer Regression verwenden, verwendet ein gleitendes Durchschnittsmodell vergangene Prognosefehler in einem regressionsähnlichen Modell. Yc et theta e theta e dots theta e. where et ist weißes Rauschen Wir verweisen darauf als MA q Modell Natürlich beobachten wir nicht die Werte von et, also ist es nicht wirklich Regression im üblichen Sinne. Notice that each Wert von yt kann als ein gewichteter gleitender Durchschnitt der letzten Prognosefehler gedacht werden. Allerdings sollten die gleitenden durchschnittlichen Modelle nicht mit der gleitenden durchschnittlichen Glättung verwechselt werden, die wir in Kapitel 6 besprochen haben. Ein gleitendes Durchschnittsmodell wird für die Prognose zukünftiger Werte beim gleitenden durchschnittlichen Glättung verwendet Wird zur Schätzung des Trendzyklus vergangener Werte verwendet. Abbildung 8 6 Zwei Beispiele für Daten aus bewegten Mittelmodellen mit unterschiedlichen Parametern Linke MA 1 mit yt 20 et 0 8e t-1 Rechts MA 2 mit ytet - e t-1 0 8e T-2 In beiden Fällen ist et normal normales Rauschen mit mittlerem Nullpunkt und Varianz eins. Abbildung 8 6 zeigt einige Daten aus einem MA 1 Modell und einem MA 2 Modell Ändern der Parameter theta1, Punkte, Thetaq führt zu unterschiedlichen Zeitreihenmustern Wie bei autoregressiven Modellen, die Varianz von Der fehlerbegriff et wird nur die skala der serie ändern, nicht die muster. Es ist möglich, jedes stationäre AR p-Modell als MA-Inft-Modell zu schreiben. Zum Beispiel können wir mit wiederholter Substitution das für ein AR 1 - Modell demonstrieren. Beginn des Phi1y et phi1 phi1y e et phi1 2y phi1 e et phi1 3y phi1 2e phi1 e et text end. Provided -1 phi1 1, wird der Wert von phi1 k kleiner, wenn k größer wird. Yt et phi1 e phi1 2 e phi1 3 e cdots. an MA infty Prozess. Das umgekehrte Ergebnis gilt, wenn wir einige Einschränkungen auf die MA-Parameter auferlegen. Dann wird das MA-Modell als invertierbar bezeichnet. Das heißt, dass wir einen invertierbaren MA q - Prozeß schreiben können Ein AR-Infty-Prozess. Unvertible Modelle sind nicht einfach, um es uns zu ermöglichen, von MA-Modellen in AR-Modelle umzuwandeln. Sie haben auch einige mathematische Eigenschaften, die sie in der Praxis einfacher zu bedienen machen. Die Invertierbarkeitsbeschränkungen sind ähnlich wie die Stationaritätsbeschränkungen. Für eine MA 1 Modell -1 theta1 1.Für ein MA 2 Modell -1 theta2 1, theta2 theta1 -1, theta1 - theta2 1.Mehr komplizierte Bedingungen gelten für q ge3 Wiederum wird R diese Einschränkungen bei der Schätzung der Modelle berücksichtigen. Moving Averages in R. Nach dem besten meiner Kenntnisse hat R keine eingebaute Funktion, um gleitende Mittelwerte zu berechnen Mit der Filterfunktion können wir jedoch eine kurze Funktion für das Bewegen von Mittelwerten schreiben. Wir können dann die Funktion auf irgendwelchen Daten mav Daten verwenden , Oder mav Daten, 11 wenn wir ein Unterschiedliche Anzahl von Datenpunkten als die Standard-5-Plottenarbeiten als erwartete Plot-Mav-Daten. Zusätzlich zu der Anzahl der Datenpunkte, über die zum Durchschnitt, können wir auch die Seiten ändern Argument der Filterfunktionen Seiten 2 verwendet beide Seiten, Seiten 1 verwendet Vergangene Werte nur. Post navigationing navigationment navigation.2 1 Moving Average Models MA models. Time Serie Modelle bekannt als ARIMA Modelle können autoregressive Begriffe und gleitende durchschnittliche Begriffe In Woche 1 haben wir einen autoregressiven Begriff in einem Zeitreihenmodell für die Variable gelernt Xt ist ein verzögerter Wert von xt. Zum Beispiel ist ein autoregressiver Term 1 x t-1 multipliziert mit einem Koeffizienten. Diese Lektion definiert gleitende Durchschnittsbegriffe. Ein bewegter Durchschnittsterm in einem Zeitreihenmodell ist ein vergangener Fehler, multipliziert mit einem Koeffizienten Wt Overset N 0, Sigma 2w, was bedeutet, dass die wt identisch, unabhängig verteilt sind, jeweils mit einer Normalverteilung mit dem Mittelwert 0 und der gleichen Varianz. Das 1-stufige gleitende Durchschnittsmodell, das mit MA 1 bezeichnet ist, ist. Xt mu wt theta1w. Das 2. geordnete gleitende Durchschnittsmodell, das mit MA 2 bezeichnet wird, ist. Xt mu wt theta1w theta2w. Das gängige gleitende durchschnittliche Modell, das mit MA q bezeichnet wird, ist. Xt mu wt theta1w theta2w punkte thetaq. Note Viele Lehrbücher und Softwareprogramme definieren das Modell mit negativen Vorzeichen vor den Begriffen Dies ändert nicht die allgemeinen theoretischen Eigenschaften des Modells, obwohl es die algebraischen Zeichen der geschätzten Koeffizientenwerte und nicht quittierten Begriffe in Formeln für ACFs und Abweichungen Sie müssen Ihre Software überprüfen, um zu überprüfen, ob negative oder positive Zeichen verwendet wurden, um das geschätzte Modell R korrekt zu schreiben. R verwendet positive Zeichen in seinem zugrunde liegenden Modell, wie wir hier sind. Die theoretischen Eigenschaften einer Zeitreihe mit Ein MA 1 Modell. Hinweis, dass der einzige Wert ungleich Null in der theoretischen ACF ist für lag 1 Alle anderen Autokorrelationen sind 0 Also ein Beispiel ACF mit einer signifikanten Autokorrelation nur bei lag 1 ist ein Indikator für eine mögliche MA 1 Modell. Für interessierte Studenten, Beweise dieser Eigenschaften sind ein Anhang zu diesem Handout. Beispiel 1 Angenommen, dass ein MA 1 - Modell xt 10 wt 7 w t-1 ist, wo wt Overset N 0,1 Somit ist der Koeffizient 1 0 7 Th E theoretische ACF ist gegeben durch eine Handlung dieses ACF folgt. Die eben dargestellte Kurve ist die theoretische ACF für eine MA 1 mit 1 0 7 In der Praxis, eine Probe gewonnen t in der Regel bieten ein solches klares Muster Mit R, simulierten wir n 100 Sample-Werte mit dem Modell xt 10 wt 7 w t-1 wobei w t. iid N 0,1 Für diese Simulation folgt ein Zeitreihen-Plot der Sample-Daten. Wir können aus dieser Handlung viel erzählen. Die Probe ACF für die simulierte Daten folgt Wir sehen einen Spike bei Verzögerung 1, gefolgt von allgemein nicht signifikanten Werten für Verzögerungen nach 1. Beachten Sie, dass die Stichprobe ACF nicht mit dem theoretischen Muster des zugrunde liegenden MA 1 übereinstimmt, was bedeutet, dass alle Autokorrelationen für die Verzögerungen nach 1 0 sind Eine andere Probe würde eine etwas andere Probe ACF unten gezeigt haben, würde aber wahrscheinlich die gleichen breiten Features haben. Theroretische Eigenschaften einer Zeitreihe mit einem MA 2 Modell. Für das MA 2 Modell sind die theoretischen Eigenschaften die folgenden. Hinweis, dass die nur ungleich Null Werte in der theoretischen ACF sind für Verzögerungen 1 und 2 Autokorrelat Ionen für höhere Verzögerungen sind 0 Also, eine Stichprobe ACF mit signifikanten Autokorrelationen bei Verzögerungen 1 und 2, aber nicht signifikante Autokorrelationen für höhere Verzögerungen zeigt ein mögliches MA 2 Modell an. ND Die Koeffizienten sind 1 0 5 und 2 0 3 Da es sich hierbei um einen MA 2 handelt, hat der theoretische ACF nur ungleich Null-Werte nur bei Verzögerungen 1 und 2.Values ​​der beiden Nicht-Null-Autokorrelationen sind. Ein Diagramm der theoretischen ACF folgt. Wie fast immer der Fall ist, haben sich die Beispieldaten nicht gut verhalten So perfekt als Theorie Wir simulierten n 150 Sample-Werte für das Modell xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 wobei w t. iid N 0,1 Die Zeitreihen-Plot der Daten folgt Wie bei der Zeitreihen-Plot für Die MA 1 Beispieldaten, können Sie t viel davon erzählen. Die Probe ACF für die simulierten Daten folgt Das Muster ist typisch für Situationen, in denen ein MA 2 - Modell nützlich sein kann Es gibt zwei statistisch signifikante Spikes bei den Verzögerungen 1 und 2 gefolgt von Nicht - signifikante Werte für andere Verzögerungen Beachten Sie, dass die Stichprobe ACF aufgrund des Stichprobenfehlers nicht übereinstimmt Das theoretische Muster genau. ACF für General MA q Modelle. Eigenschaft von MA q-Modelle im Allgemeinen ist, dass es keine Null-Autokorrelationen für die ersten q Verzögerungen und Autokorrelationen 0 für alle Verzögerungen q. Non-Eindeutigkeit der Verbindung zwischen den Werten von 1 und rho1 In MA 1 Modell Im MA 1 Modell, für jeden Wert von 1 der reziproke 1 1 gibt den gleichen Wert für. Als Beispiel, verwenden Sie 0 5 für 1 und verwenden Sie dann 1 0 5 2 für 1 Sie erhalten rho1 0 4 In beiden Fällen. Um eine theoretische Einschränkung als Invertierbarkeit zu befriedigen, beschränken wir MA 1 - Modelle, um Werte mit einem absoluten Wert kleiner als 1 zu haben. In dem gerade angegebenen Beispiel ist 1 0 5 ein zulässiger Parameterwert, wohingegen 1 1 0 5 2 nicht. Invertierbarkeit von MA-Modellen. Ein MA-Modell soll invertierbar sein, wenn es algebraisch äquivalent zu einem konvergierenden unendlichen Ordnungs-AR-Modell ist. Durch Konvergenz bedeutet das, dass die AR-Koeffizienten auf 0 abnehmen, wenn wir uns in der Zeit zurückziehen. Unverträglichkeit ist eine eingeschränkte Einschränkung Zeitreihen-Software zur Schätzung des Koeffizienten Icients von Modellen mit MA-Begriffen Es ist nicht etwas, das wir in der Datenanalyse überprüfen. Weitere Informationen über die Invertierbarkeitsbeschränkung für MA 1-Modelle finden Sie im Anhang. Advanced Theory Note Für ein MA q - Modell mit einem angegebenen ACF gibt es nur Ein invertierbares Modell Die notwendige Bedingung für die Invertierbarkeit ist, dass die Koeffizienten Werte haben, so dass die Gleichung 1- 1 y - - qyq 0 Lösungen für y hat, die außerhalb des Einheitskreises liegen. R Code für die Beispiele In Beispiel 1 haben wir die Theoretische ACF des Modells xt 10 wt 7w t-1 und dann simuliert n 150 Werte aus diesem Modell und plotten die Probe Zeitreihen und die Probe ACF für die simulierten Daten Die R-Befehle verwendet, um die theoretische ACF wurden. acfma1 ARMAacf ma c 0 7, 10 Verzögerungen von ACF für MA 1 mit theta1 0 7 Verzögerungen 0 10 erzeugt eine Variable namens Lags, die von 0 bis 10 Plot Lags, acfma1, xlim c 1,10, ylab r, Typ h, main ACF für MA 1 reicht Mit theta1 0 7 abline h 0 fügt eine horizontale Achse zum Plot hinzu E erster Befehl bestimmt die ACF und speichert sie in einem Objekt namens acfma1 unsere Wahl des Namens. Der Handlungsbefehl der 3. Befehls-Plots verzögert gegenüber den ACF-Werten für die Verzögerungen 1 bis 10 Der ylab-Parameter markiert die y-Achse und der Hauptparameter setzt einen Titel auf dem Plot. Um die numerischen Werte des ACF zu sehen, benutzen Sie einfach den Befehl acfma1. Die Simulation und Plots wurden mit den folgenden Befehlen durchgeführt. List ma c 0 7 Simuliert n 150 Werte aus MA 1 x xc 10 fügt 10 hinzu, um Mittel zu machen 10 Simulationsvorgaben bedeuten 0 Plot x, Typ b, Haupt Simuliert MA 1 Daten acf x, xlim c 1,10, Haupt-ACF für simuliert Beispieldaten In Beispiel 2 haben wir die theoretische ACF des Modells xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 aufgetragen und dann n 150 Werte aus diesem Modell simuliert und die Sample-Zeitreihen und die Probe ACF für die simulierten aufgetragen Daten Die verwendeten R-Befehle waren. acfma2 ARMAacf ma c 0 5,0 3, acfma2-Verzögerungen 0 10 Plot-Verzögerungen, acfma2, xlim c 1,10, ylab r, Typ h, Haupt-ACF für MA 2 mit theta1 0 5, theta2 0 3 abline h 0 list ma c 0 5, 0 3 x xc 10 plot x, Typ b, main Simuliert MA 2 Serie acf x, xlim c 1,10, Haupt-ACF für simulierte MA 2 Daten. Appendix Nachweis der Eigenschaften von MA 1 Für interessierte Schüler sind hier Beweise für die theoretischen Eigenschaften des MA 1 Modells. Variante Text xt Text mu wt theta1 w 0 text wt text theta1w sigma 2w theta 21 sigma 2w 1 theta 21 sigma 2w. Wenn h 1, der vorherige ausdruck 1 W 2 Für jedes h 2 , Der vorhergehende Ausdruck 0 Der Grund dafür ist, dass durch die Definition der Unabhängigkeit der wt E wkwj 0 für irgendwelche kj Weiter, weil die wt haben Mittelwert 0, E wjwj E wj 2 w 2.For eine Zeitreihe. Apply dieses Ergebnis zu bekommen Die ACF, die oben gegeben wurde. Ein invertierbares MA-Modell ist eines, das als ein unendliches Auftrags-AR-Modell geschrieben werden kann, das konvergiert, so dass die AR-Koeffizienten zu 0 konvergieren, wenn wir uns unendlich zurück in der Zeit bewegen. Wir zeigen die Invertierbarkeit für das MA 1-Modell Ersatzbeziehung 2 für wt-1 in Gleichung 1. 3 zt wt theta1 z - theta1w wt theta1z - theta 2w. Die Zeit t-2 Gleichung 2 wird. Wir ersetzen dann die Beziehung 4 für w t-2 in Gleichung 3. zt wt Theta1z - theta1w wt theta1z - theta1w wt theta1z - theta1 2z theta 31.Wenn wir unendlich weitergehen wollten, würden wir das unendliche AR-Modell bekommen. Zt wt theta1 z - theta 21z theta 31z - theta 41z dots. Hinweis jedoch, dass wenn 1 1 die Koeffizienten, die die Verzögerungen von z multiplizieren, unendlich an Größe zunehmen werden, wenn wir uns in der Zeit zurückziehen Um dies zu verhindern, brauchen wir 1 1 Dies ist Die Bedingung für ein invertierbares MA 1 Modell. Unendliche Ordnung MA Modell. In Woche 3 sehen wir, dass ein AR 1 Modell in ein unendliches Auftrag MA Modell umgewandelt werden kann. Xt - mu wt phi1w phi 21w punkte phi k1 w punkte sum phi j1w. Diese Summierung der vergangenen weißen Rauschbegriffe ist als die kausale Darstellung eines AR 1 bekannt. Mit anderen Worten, xt ist ein spezieller Typ von MA mit unendlich vielen Terme Rückkehr in der Zeit Dies ist eine unendliche Ordnung MA oder MA Eine endliche Ordnung MA ist eine unendliche Ordnung AR und jede endliche Ordnung AR ist eine unendliche Ordnung MA. Recall in Woche 1, stellten wir fest, dass eine Voraussetzung für eine stationäre AR 1 ist, dass 1 1 Sei s berechnen die Var xt mit der Kausaldarstellung. Dieser letzte Schritt verwendet eine grundlegende Tatsache über geometrische Serien, die phi1 erfordert 1 sonst die Serie divergiert.